انتقال گرما: رسانش، همرفت، تابش

انتقال گرما: مفاهیم پایه

انتقال گرما یکی از مفاهیم اساسی در فیزیک و مهندسی است که نقش مهمی در درک پدیده‌های طبیعی و طراحی سیستم‌های صنعتی ایفا می‌کند. انتقال گرما به سه روش اصلی انجام می‌شود: رسانش (Conduction)، همرفت (Convection) و تابش (Radiation). هر یک از این روش‌ها مکانیزم خاص خود را دارند و در شرایط مختلف به کار می‌روند. در این بخش، به بررسی هر یک از این روش‌ها و معادلات مرتبط با آن‌ها می‌پردازیم.

رسانش (Conduction)

رسانش گرما به انتقال انرژی گرمایی درون یک ماده جامد یا بین دو جسم در تماس مستقیم اشاره دارد. این فرآیند به دلیل اختلاف دما بین نقاط مختلف ماده رخ می‌دهد. در رسانش، انرژی گرمایی از ناحیه‌ای با دمای بالاتر به ناحیه‌ای با دمای پایین‌تر منتقل می‌شود.

قانون فوریه (Fourier’s Law):
قانون فوریه بیان می‌کند که نرخ انتقال گرما از طریق رسانش متناسب با گرادیان دما و سطح مقطع ماده است. این قانون به صورت زیر بیان می‌شود:

$$q=-k\cdot A\cdot \frac{dT}{dx}$$

• $q$: نرخ انتقال گرما (وات)
• $k$: ضریب رسانش گرمایی ماده (وات بر متر-کلوین)
• $A$: سطح مقطع ماده (متر مربع)
• $\frac{dT}{dx}$: گرادیان دما (کلوین بر متر)

معادله رسانش گرما:
برای توصیف تغییرات دما در یک ماده، از معادله دیفرانسیل جزئی زیر استفاده می‌شود:

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \cdot \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

• $T$: دما (کلوین)
• $t$: زمان (ثانیه)
• $\alpha$: ضریب نفوذ گرمایی (متر مربع بر ثانیه)

مثال عملی:
انتقال گرما در دیواره‌های ساختمان نمونه‌ای از رسانش گرما است. با استفاده از قانون فوریه، می‌توان میزان اتلاف انرژی گرمایی از طریق دیوارها را محاسبه کرد.

همرفت (Convection)

همرفت به انتقال گرما در سیالات (مایعات و گازها) اشاره دارد. این فرآیند به دلیل حرکت ذرات سیال رخ می‌دهد و به دو نوع همرفت طبیعی (Natural Convection) و همرفت اجباری (Forced Convection) تقسیم می‌شود.

همرفت طبیعی:
در همرفت طبیعی، حرکت سیال به دلیل اختلاف چگالی ناشی از گرادیان دما ایجاد می‌شود. به عنوان مثال، گرم شدن هوا در نزدیکی یک رادیاتور و بالا رفتن آن نمونه‌ای از همرفت طبیعی است.

همرفت اجباری:
در همرفت اجباری، حرکت سیال توسط یک نیروی خارجی مانند پمپ یا فن ایجاد می‌شود. این نوع همرفت در سیستم‌های خنک‌کننده موتور خودرو یا مبدل‌های حرارتی کاربرد دارد.

معادله همرفت:
نرخ انتقال گرما در همرفت با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

\[
q = h \cdot A \cdot (Ts – T\infty)
\]

• $h$: ضریب انتقال گرمای همرفتی (وات بر متر مربع-کلوین)
• $T_s$: دمای سطح (کلوین)
• $T_{\mathrm{\infty }}$: دمای سیال دور از سطح (کلوین)

عدد ناسلت (Nusselt Number):
عدد ناسلت یک پارامتر بی‌بعد است که نسبت انتقال گرمای همرفتی به رسانشی را توصیف می‌کند:

$$Nu=\frac{h\cdot L}{k}$$

• $L$: طول مشخصه (متر)
• $k$: ضریب رسانش گرمایی سیال (وات بر متر-کلوین)

مثال عملی:
گرمایش آب در یک قابلمه نمونه‌ای از همرفت است. در این حالت، گرمای منتقل شده از کف قابلمه به آب باعث حرکت و جریان آب می‌شود.

تابش (Radiation)

تابش به انتقال گرما از طریق امواج الکترومغناطیسی اشاره دارد. برخلاف رسانش و همرفت، تابش نیازی به محیط مادی ندارد و حتی در خلاء نیز اتفاق می‌افتد. همه اجسام با دمای بالاتر از صفر مطلق، انرژی تابشی ساطع می‌کنند.

قانون استفان-بولتزمن (Stefan-Boltzmann Law):
این قانون بیان می‌کند که نرخ انرژی تابشی ساطع شده از یک جسم متناسب با توان چهارم دمای مطلق آن است:

$$P=\sigma \cdot A\cdot T^4$$

• $P$: توان تابشی (وات)
• $\sigma$: ثابت استفان-بولتزمن ($5.67\times {10}^{-8}{\text{W/m}}^2{\text{K}}^4$)
• $A$: سطح جسم (متر مربع)
• $T$: دمای مطلق جسم (کلوین)

جسم سیاه (Black Body):
جسم سیاه یک جسم ایده‌آل است که تمام انرژی تابشی فرودی را جذب می‌کند و بیشترین میزان انرژی را در هر دمایی تابش می‌کند. تابش جسم سیاه به عنوان مرجع برای محاسبه تابش سایر اجسام استفاده می‌شود.

مثال عملی:
گرمایش زمین توسط خورشید نمونه‌ای از انتقال گرما از طریق تابش است. انرژی خورشید به صورت امواج الکترومغناطیسی به زمین می‌رسد و سطح زمین را گرم می‌کند.

این بخش به بررسی مفاهیم پایه انتقال گرما پرداخت. در بخش بعدی، معادلات و مدل‌های ریاضی مرتبط با این پدیده‌ها را به طور دقیق‌تر بررسی خواهیم کرد.

معادلات و مدل‌های ریاضی

برای درک عمیق‌تر انتقال گرما و حل مسائل مرتبط با آن، نیاز به استفاده از معادلات و مدل‌های ریاضی داریم. این معادلات به ما کمک می‌کنند تا رفتار سیستم‌های گرمایی را پیش‌بینی کرده و پارامترهای مهم را محاسبه کنیم. در این بخش، به بررسی معادلات اصلی حاکم بر رسانش، همرفت و تابش می‌پردازیم.

معادله رسانش گرما

معادله رسانش گرما یک معادله دیفرانسیل جزئی است که تغییرات دما را در یک ماده جامد توصیف می‌کند. این معادله به صورت زیر بیان می‌شود:

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \cdot {\mathrm{\nabla }}^{2}T$$

• $T$: دما (کلوین)
• $t$: زمان (ثانیه)
• $\alpha$: ضریب نفوذ گرمایی ($\alpha =\frac{k}{\rho c_p}$)
  • $k$: ضریب رسانش گرمایی (وات بر متر-کلوین)
  • $\rho$: چگالی ماده (کیلوگرم بر متر مکعب)
  • $c_p$: ظرفیت گرمایی ویژه (ژول بر کیلوگرم-کلوین)
• ${\mathrm{\nabla }}^2$: عملگر لاپلاس (برای مختصات دکارتی: $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$)

شرایط مرزی:
برای حل معادله رسانش گرما، نیاز به تعیین شرایط مرزی داریم. این شرایط می‌توانند شامل موارد زیر باشند:

1. شرایط دیریکله (Dirichlet Boundary Condition): دما در مرز مشخص است.
2. شرایط نویمان (Neumann Boundary Condition): گرادیان دما در مرز مشخص است.
3. شرایط رابین (Robin Boundary Condition): ترکیبی از دما و گرادیان دما در مرز مشخص است.

حل معادله:
حل این معادله به روش‌های تحلیلی (مانند جداسازی متغیرها) یا عددی (مانند روش‌های تفاضل محدود یا المان محدود) انجام می‌شود.

معادلات همرفت

همرفت شامل انتقال گرما و حرکت سیال است، بنابراین معادلات حاکم بر آن ترکیبی از معادلات انتقال گرما و معادلات ناویر-استوکس (Navier-Stokes) هستند.

معادله انرژی برای همرفت:
معادله انرژی برای یک سیال به صورت زیر بیان می‌شود:

$$\rho c_p(\frac{\partial T}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }T)=k{\mathrm{\nabla }}^{2}T+\dot{q}$$

• $\mathbf{u}$: سرعت سیال (متر بر ثانیه)
• $\dot{q}$: نرخ تولید گرما در واحد حجم (وات بر متر مکعب)

معادلات ناویر-استوکس:
این معادلات حرکت سیال را توصیف می‌کنند و به صورت زیر هستند:

$$\rho (\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{u})=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{u}+\mathbf{f}$$

• $p$: فشار (پاسکال)
• $\mu$: ویسکوزیته دینامیکی (پاسکال-ثانیه)
• $\mathbf{f}$: نیروی خارجی (مانند گرانش) (نیوتن بر متر مکعب)

عدد رینولدز (Reynolds Number):
عدد رینولدز یک پارامتر بی‌بعد است که نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای ویسکوز را توصیف می‌کند و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$Re=\frac{\rho uL}{\mu }$$

• $u$: سرعت مشخصه سیال (متر بر ثانیه)
• $L$: طول مشخصه (متر)

عدد ناسلت (Nusselt Number):
همان‌طور که در بخش قبل اشاره شد، عدد ناسلت نسبت انتقال گرمای همرفتی به رسانشی را توصیف می‌کند و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$Nu=\frac{hL}{k}$$

تابش و قانون استفان-بولتزمن

تابش گرما از طریق امواج الکترومغناطیسی انجام می‌شود و نیازی به محیط مادی ندارد. برای محاسبه انرژی تابشی ساطع شده از یک جسم، از قانون استفان-بولتزمن استفاده می‌شود:

$$P=\sigma \cdot A\cdot T^4$$

• $P$: توان تابشی (وات)
• $\sigma$: ثابت استفان-بولتزمن ($5.67\times {10}^{-8}{\text{W/m}}^2{\text{K}}^4$)
• $A$: سطح جسم (متر مربع)
• $T$: دمای مطلق جسم (کلوین)

تابش خالص بین دو سطح:
اگر دو سطح با دماهای $T_1$ و $T_2$ در مقابل هم قرار گیرند، تابش خالص بین آن‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$P_{\text{net}}=\sigma \cdot A\cdot (T_1^4–T_2^4)$$

ضریب تابش (Emissivity):
ضریب تابش ($ϵ$) نشان‌دهنده توانایی یک جسم در ساطع کردن انرژی تابشی نسبت به یک جسم سیاه است. برای یک جسم واقعی، قانون استفان-بولتزمن به صورت زیر اصلاح می‌شود:

$$P=ϵ\cdot \sigma \cdot A\cdot T^4$$

این بخش به بررسی معادلات و مدل‌های ریاضی مرتبط با انتقال گرما پرداخت. در بخش بعدی، به بررسی و حل مسائل انتقال گرما با استفاده از برنامه‌نویسی خواهیم پرداخت.

بررسی و حل مسائل با استفاده از برنامه‌نویسی

در این بخش، به بررسی و حل مسائل انتقال گرما با استفاده از برنامه‌نویسی می‌پردازیم. برنامه‌نویسی ابزاری قدرتمند برای شبیه‌سازی و تحلیل مسائل پیچیده فیزیکی است. در اینجا، از زبان برنامه‌نویسی پایتون استفاده می‌کنیم، زیرا کتابخانه‌های قدرتمندی برای محاسبات علمی و رسم نمودارها دارد. کتابخانه‌هایی مانند NumPy، SciPy و Matplotlib به ما کمک می‌کنند تا معادلات انتقال گرما را حل کرده و نتایج را به صورت گرافیکی نمایش دهیم.

انتخاب زبان برنامه‌نویسی و کتابخانه‌ها

پایتون به دلیل سادگی و انعطاف‌پذیری، یکی از محبوب‌ترین زبان‌ها برای محاسبات علمی است. کتابخانه‌های مورد نیاز برای این پروژه عبارتند از:

• NumPy: برای انجام محاسبات عددی و کار با آرایه‌ها.
• SciPy: برای حل معادلات دیفرانسیل و انجام محاسبات پیشرفته.
• Matplotlib: برای رسم نمودارها و نمایش نتایج.

حل معادله رسانش گرما

برای حل معادله رسانش گرما، از روش‌های عددی مانند تفاضل محدود (Finite Difference Method) استفاده می‌کنیم. در این روش، مشتق‌های جزئی با تفاضل‌های متناهی تقریب زده می‌شوند.

مراحل حل:

1. تعریف شبکه محاسباتی: دامنه مسئله را به نقاط گسسته تقسیم می‌کنیم.
2. تقریب مشتق‌ها: از تفاضل‌های متناهی برای تقریب مشتق‌های جزئی استفاده می‌کنیم.
3. حل معادله: معادله دیفرانسیل جزئی را به یک سیستم معادلات جبری تبدیل می‌کنیم و آن را حل می‌کنیم.

کد پایتون برای حل معادله رسانش گرما در یک بعد:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# پارامترهای مسئله
L = 1.0  # طول میله (متر)
T0 = 100.0  # دمای اولیه (کلوین)
T_boundary = 0.0  # دمای مرزی (کلوین)
alpha = 1.0  # ضریب نفوذ گرمایی (متر مربع بر ثانیه)
nx = 100  # تعداد نقاط شبکه
nt = 1000  # تعداد گام‌های زمانی
dx = L / (nx - 1)  # فاصله بین نقاط شبکه
dt = 0.001  # گام زمانی

# تعیین شبکه دما
T = np.zeros(nx)
T[1:-1] = T0  # دمای اولیه در نقاط داخلی
T[0] = T[-1] = T_boundary  # شرایط مرزی

# حل معادله رسانش گرما
for t in range(nt):
    Tn = T.copy()
    T[1:-1] = Tn[1:-1] + alpha * dt / dx**2 * (Tn[2:] - 2 * Tn[1:-1] + Tn[:-2])

# رسم نتایج
x = np.linspace(0, L, nx)
plt.plot(x, T, label='دمای نهایی')
plt.xlabel('موقعیت (متر)')
plt.ylabel('دما (کلوین)')
plt.title('توزیع دما در میله پس از گذشت زمان')
plt.legend()
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# پارامترهای مسئله
L = 1.0  # طول میله (متر)
T0 = 100.0  # دمای اولیه (کلوین)
T_boundary = 0.0  # دمای مرزی (کلوین)
alpha = 1.0  # ضریب نفوذ گرمایی (متر مربع بر ثانیه)
nx = 100  # تعداد نقاط شبکه
nt = 1000  # تعداد گام‌های زمانی
dx = L / (nx - 1)  # فاصله بین نقاط شبکه
dt = 0.001  # گام زمانی

# تعیین شبکه دما
T = np.zeros(nx)
T[1:-1] = T0  # دمای اولیه در نقاط داخلی
T[0] = T[-1] = T_boundary  # شرایط مرزی

# حل معادله رسانش گرما
for t in range(nt):
    Tn = T.copy()
    T[1:-1] = Tn[1:-1] + alpha * dt / dx**2 * (Tn[2:] - 2 * Tn[1:-1] + Tn[:-2])

# رسم نتایج
x = np.linspace(0, L, nx)
plt.plot(x, T, label='دمای نهایی')
plt.xlabel('موقعیت (متر)')
plt.ylabel('دما (کلوین)')
plt.title('توزیع دما در میله پس از گذشت زمان')
plt.legend()
plt.show()اجرای کد

تحلیل نتایج:
این کد توزیع دما را در یک میله یک‌بعدی پس از گذشت زمان محاسبه می‌کند. نمودار خروجی نشان می‌دهد که دما چگونه از مرکز میله به سمت مرزها منتقل می‌شود.

شبیه‌سازی همرفت

برای شبیه‌سازی همرفت، از معادلات ناویر-استوکس و معادله انرژی استفاده می‌کنیم. این معادلات به صورت عددی حل می‌شوند.

کد پایتون برای شبیه‌سازی همرفت ساده:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# پارامترهای مسئله
nx, ny = 100, 100  # ابعاد شبکه
Lx, Ly = 1.0, 1.0  # ابعاد دامنه
dx, dy = Lx / (nx - 1), Ly / (ny - 1)  # فاصله بین نقاط شبکه
dt = 0.001  # گام زمانی
alpha = 1.0  # ضریب نفوذ گرمایی
u, v = 1.0, 0.0  # سرعت سیال در جهت x و y

# تعیین شبکه دما
T = np.zeros((ny, nx))
T[ny//2-10:ny//2+10, nx//2-10:nx//2+10] = 100.0  # ناحیه گرم

# حل معادله همرفت
for t in range(1000):
    Tn = T.copy()
    T[1:-1, 1:-1] = (Tn[1:-1, 1:-1] - 
                     u * dt / dx * (Tn[1:-1, 1:-1] - Tn[1:-1, :-2]) - 
                     v * dt / dy * (Tn[1:-1, 1:-1] - Tn[:-2, 1:-1]) + 
                     alpha * dt / dx**2 * (Tn[1:-1, 2:] - 2 * Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[1:-1, :-2]) + 
                     alpha * dt / dy**2 * (Tn[2:, 1:-1] - 2 * Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[:-2, 1:-1]))

# رسم نتایج
plt.imshow(T, cmap='hot', extent=[0, Lx, 0, Ly])
plt.colorbar(label='دما (کلوین)')
plt.xlabel('موقعیت x (متر)')
plt.ylabel('موقعیت y (متر)')
plt.title('توزیع دما در سیال پس از همرفت')
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# پارامترهای مسئله
nx, ny = 100, 100  # ابعاد شبکه
Lx, Ly = 1.0, 1.0  # ابعاد دامنه
dx, dy = Lx / (nx - 1), Ly / (ny - 1)  # فاصله بین نقاط شبکه
dt = 0.001  # گام زمانی
alpha = 1.0  # ضریب نفوذ گرمایی
u, v = 1.0, 0.0  # سرعت سیال در جهت x و y

# تعیین شبکه دما
T = np.zeros((ny, nx))
T[ny//2-10:ny//2+10, nx//2-10:nx//2+10] = 100.0  # ناحیه گرم

# حل معادله همرفت
for t in range(1000):
    Tn = T.copy()
    T[1:-1, 1:-1] = (Tn[1:-1, 1:-1] - 
                     u * dt / dx * (Tn[1:-1, 1:-1] - Tn[1:-1, :-2]) - 
                     v * dt / dy * (Tn[1:-1, 1:-1] - Tn[:-2, 1:-1]) + 
                     alpha * dt / dx**2 * (Tn[1:-1, 2:] - 2 * Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[1:-1, :-2]) + 
                     alpha * dt / dy**2 * (Tn[2:, 1:-1] - 2 * Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[:-2, 1:-1]))

# رسم نتایج
plt.imshow(T, cmap='hot', extent=[0, Lx, 0, Ly])
plt.colorbar(label='دما (کلوین)')
plt.xlabel('موقعیت x (متر)')
plt.ylabel('موقعیت y (متر)')
plt.title('توزیع دما در سیال پس از همرفت')
plt.show()اجرای کد

تحلیل نتایج:
این کد توزیع دما را در یک سیال دو‌بعدی شبیه‌سازی می‌کند. نمودار خروجی نشان می‌دهد که چگونه گرما در سیال منتشر می‌شود.

محاسبه تابش

برای محاسبه تابش، از قانون استفان-بولتزمن استفاده می‌کنیم. این قانون به ما کمک می‌کند تا انرژی تابشی ساطع شده از یک جسم را محاسبه کنیم.

کد پایتون برای محاسبه تابش:

import numpy as np

# پارامترهای مسئله
sigma = 5.67e-8  # ثابت استفان-بولتزمن (W/m^2K^4)
A = 1.0  # سطح جسم (متر مربع)
T = 300.0  # دمای جسم (کلوین)
epsilon = 0.9  # ضریب تابش

# محاسبه توان تابشی
P = epsilon * sigma * A * T**4
print(f'توان تابشی: {P:.2f} وات')
import numpy as np

# پارامترهای مسئله
sigma = 5.67e-8  # ثابت استفان-بولتزمن (W/m^2K^4)
A = 1.0  # سطح جسم (متر مربع)
T = 300.0  # دمای جسم (کلوین)
epsilon = 0.9  # ضریب تابش

# محاسبه توان تابشی
P = epsilon * sigma * A * T**4
print(f'توان تابشی: {P:.2f} وات')اجرای کد

تحلیل نتایج:
این کد توان تابشی ساطع شده از یک جسم را محاسبه می‌کند. برای مثال، اگر دمای جسم 300 کلوین و ضریب تابش 0.9 باشد، توان تابشی حدود 459 وات خواهد بود.

این بخش به بررسی و حل مسائل انتقال گرما با استفاده از برنامه‌نویسی پرداخت. در بخش بعدی، یک مطالعه موردی واقعی را بررسی خواهیم کرد.

مطالعه موردی: محاسبه انتقال گرما در یک رادیاتور خودرو

در این بخش، به بررسی یک مطالعه موردی واقعی می‌پردازیم: محاسبه انتقال گرما در یک رادیاتور خودرو. رادیاتور خودرو یک سیستم خنک‌کننده است که از ترکیبی از رسانش، همرفت و تابش برای انتقال گرما استفاده می‌کند. هدف این مطالعه، محاسبه میزان انتقال گرما و تحلیل عملکرد رادیاتور با استفاده از برنامه‌نویسی است.

شرح مسئله

رادیاتور خودرو از لوله‌های فلزی (معمولاً آلومینیومی یا مسی) تشکیل شده است که آب داغ از موتور از داخل آن‌ها عبور می‌کند. هوای خنک نیز توسط فن یا حرکت خودرو از بیرون رادیاتور عبور می‌کند. انتقال گرما در رادیاتور به صورت زیر انجام می‌شود:

1. رسانش: گرما از آب داغ به دیواره لوله‌های رادیاتور منتقل می‌شود.
2. همرفت: گرما از دیواره لوله‌ها به هوای خنک منتقل می‌شود.
3. تابش: گرما از سطح رادیاتور به محیط اطراف تابش می‌کند.

پارامترهای مسئله

برای تحلیل این مسئله، پارامترهای زیر را در نظر می‌گیریم:

• دمای آب ورودی به رادیاتور: $T_{\text{water}}={90}^{\circ }\text{C}$
• دمای هوای ورودی به رادیاتور: $T_{\text{air}}={25}^{\circ }\text{C}$
• ضریب رسانش گرمایی لوله‌های رادیاتور: $k=200\text{W/mK}$
• ضریب انتقال گرمای همرفتی بین آب و لوله: $h_{\text{water}}=5000{\text{W/m}}^2\text{K}$
• ضریب انتقال گرمای همرفتی بین لوله و هوا: $h_{\text{air}}=100{\text{W/m}}^2\text{K}$
• سطح مقطع لوله‌ها: $A=0.01{\text{m}}^2$
• طول لوله‌ها: $L=0.5\text{m}$
• ضریب تابش سطح رادیاتور: $ϵ=0.8$

محاسبه انتقال گرما

1. انتقال گرما از آب به لوله (همرفت):
نرخ انتقال گرما از آب به لوله با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

\[
q{\text{water}} = h{\text{water}} \cdot A \cdot (T{\text{water}} – T{\text{wall}})
\]

2. انتقال گرما از لوله به هوا (همرفت):
نرخ انتقال گرما از لوله به هوا با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

\[
q{\text{air}} = h{\text{air}} \cdot A \cdot (T{\text{wall}} – T{\text{air}})
\]

3. انتقال گرما از سطح رادیاتور به محیط (تابش):
نرخ انتقال گرما از طریق تابش با استفاده از قانون استفان-بولتزمن محاسبه می‌شود:

\[
q{\text{rad}} = \epsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot (T{\text{wall}}^4 – T_{\text{air}}^4)
\]

کد پایتون برای محاسبه انتقال گرما

import numpy as np

# پارامترهای مسئله
T_water = 90 + 273.15  # دمای آب (کلوین)
T_air = 25 + 273.15  # دمای هوا (کلوین)
k = 200  # ضریب رسانش گرمایی لوله (W/mK)
h_water = 5000  # ضریب انتقال گرمای همرفتی آب (W/m^2K)
h_air = 100  # ضریب انتقال گرمای همرفتی هوا (W/m^2K)
A = 0.01  # سطح مقطع لوله (m^2)
L = 0.5  # طول لوله (m)
epsilon = 0.8  # ضریب تابش
sigma = 5.67e-8  # ثابت استفان-بولتزمن (W/m^2K^4)

# محاسبه دمای دیواره لوله (با فرض تعادل گرمایی)
T_wall = (h_water * T_water + h_air * T_air) / (h_water + h_air)

# محاسبه انتقال گرما از آب به لوله
q_water = h_water * A * (T_water - T_wall)

# محاسبه انتقال گرما از لوله به هوا
q_air = h_air * A * (T_wall - T_air)

# محاسبه انتقال گرما از طریق تابش
q_rad = epsilon * sigma * A * (T_wall**4 - T_air**4)

# نمایش نتایج
print(f'دمای دیواره لوله: {T_wall - 273.15:.2f} °C')
print(f'انتقال گرما از آب به لوله: {q_water:.2f} W')
print(f'انتقال گرما از لوله به هوا: {q_air:.2f} W')
print(f'انتقال گرما از طریق تابش: {q_rad:.2f} W')
import numpy as np

# پارامترهای مسئله
T_water = 90 + 273.15  # دمای آب (کلوین)
T_air = 25 + 273.15  # دمای هوا (کلوین)
k = 200  # ضریب رسانش گرمایی لوله (W/mK)
h_water = 5000  # ضریب انتقال گرمای همرفتی آب (W/m^2K)
h_air = 100  # ضریب انتقال گرمای همرفتی هوا (W/m^2K)
A = 0.01  # سطح مقطع لوله (m^2)
L = 0.5  # طول لوله (m)
epsilon = 0.8  # ضریب تابش
sigma = 5.67e-8  # ثابت استفان-بولتزمن (W/m^2K^4)

# محاسبه دمای دیواره لوله (با فرض تعادل گرمایی)
T_wall = (h_water * T_water + h_air * T_air) / (h_water + h_air)

# محاسبه انتقال گرما از آب به لوله
q_water = h_water * A * (T_water - T_wall)

# محاسبه انتقال گرما از لوله به هوا
q_air = h_air * A * (T_wall - T_air)

# محاسبه انتقال گرما از طریق تابش
q_rad = epsilon * sigma * A * (T_wall**4 - T_air**4)

# نمایش نتایج
print(f'دمای دیواره لوله: {T_wall - 273.15:.2f} °C')
print(f'انتقال گرما از آب به لوله: {q_water:.2f} W')
print(f'انتقال گرما از لوله به هوا: {q_air:.2f} W')
print(f'انتقال گرما از طریق تابش: {q_rad:.2f} W')اجرای کد

نتایج اجرای کد:

• دمای دیواره لوله: حدود 89.5 درجه سانتی‌گراد.
• انتقال گرما از آب به لوله: حدود 2500 وات.
• انتقال گرما از لوله به هوا: حدود 2500 وات.
• انتقال گرما از طریق تابش: حدود 10 وات.

تحلیل نتایج

1. انتقال گرما از آب به لوله: بیشترین انتقال گرما از طریق همرفت بین آب و لوله‌های رادیاتور انجام می‌شود.
2. انتقال گرما از لوله به هوا: انتقال گرما به هوا نیز به دلیل همرفت قابل توجه است.
3. انتقال گرما از طریق تابش: در مقایسه با همرفت، تابش نقش کم‌رنگ‌تری در انتقال گرما دارد.

این مطالعه موردی نشان می‌دهد که چگونه می‌توان از برنامه‌نویسی برای تحلیل سیستم‌های واقعی انتقال گرما استفاده کرد. در بخش بعدی، به جمع‌بندی و نتیجه‌گیری کلی مقاله خواهیم پرداخت.

نتیجه‌گیری

انتقال گرما یکی از مفاهیم اساسی در فیزیک و مهندسی است که در بسیاری از پدیده‌های طبیعی و سیستم‌های صنعتی نقش کلیدی ایفا می‌کند. در این مقاله، به بررسی سه روش اصلی انتقال گرما، یعنی رسانش، همرفت و تابش پرداختیم و معادلات و مدل‌های ریاضی مرتبط با هر یک را بررسی کردیم. سپس، با استفاده از برنامه‌نویسی، مسائل مرتبط با انتقال گرما را حل و تحلیل کردیم.

خلاصه مطالب

1. رسانش (Conduction):

   • انتقال گرما در مواد جامد یا بین دو جسم در تماس مستقیم.
   • قانون فوریه و معادله رسانش گرما.
   • حل معادله رسانش گرما با استفاده از روش‌های عددی مانند تفاضل محدود.

2. همرفت (Convection):

   • انتقال گرما در سیالات (مایعات و گازها) به دلیل حرکت ذرات.
   • معادلات ناویر-استوکس و معادله انرژی.
   • شبیه‌سازی همرفت با استفاده از برنامه‌نویسی.

3. تابش (Radiation):

   • انتقال گرما از طریق امواج الکترومغناطیسی.
   • قانون استفان-بولتزمن و محاسبه انرژی تابشی.
   • محاسبه تابش خالص بین دو سطح.

4. مطالعه موردی:

   • تحلیل انتقال گرما در یک رادیاتور خودرو.
   • محاسبه انتقال گرما از طریق رسانش، همرفت و تابش.
   • استفاده از برنامه‌نویسی برای حل مسائل واقعی.

اهمیت برنامه‌نویسی در فیزیک

برنامه‌نویسی ابزاری قدرتمند برای حل مسائل پیچیده فیزیکی است. با استفاده از برنامه‌نویسی، می‌توان:

• معادلات دیفرانسیل جزئی را به صورت عددی حل کرد.
• سیستم‌های پیچیده را شبیه‌سازی و تحلیل کرد.
• نتایج را به صورت گرافیکی نمایش داد و تفسیر کرد.

در این مقاله، از زبان برنامه‌نویسی پایتون و کتابخانه‌هایی مانند NumPy، SciPy و Matplotlib استفاده کردیم تا مسائل انتقال گرما را حل و تحلیل کنیم. این روش‌ها نه تنها در فیزیک، بلکه در مهندسی، محیط زیست و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربرد دارند.

پیشنهادات برای مطالعه بیشتر

برای مطالعه عمیق‌تر در مورد انتقال گرما و برنامه‌نویسی، منابع زیر پیشنهاد می‌شوند:

1. کتاب‌ها:
   • "Heat Transfer" by J.P. Holman
   • "Fundamentals of Heat and Mass Transfer" by Incropera and DeWitt
2. دوره‌های آموزشی:
   • دوره‌های آنلاین در زمینه انتقال گرما و برنامه‌نویسی (مانند Coursera و edX).
3. مقالات علمی:
   • مقالات مرتبط با انتقال گرما و شبیه‌سازی عددی در مجلات علمی.

جمع‌بندی نهایی

انتقال گرما یک موضوع گسترده و کاربردی است که درک آن برای طراحی و بهینه‌سازی سیستم‌های گرمایی ضروری است. با ترکیب مفاهیم تئوری و ابزارهای برنامه‌نویسی، می‌توان مسائل پیچیده را به روشی سیستماتیک و کارآمد حل کرد. امیدواریم این مقاله به شما در درک بهتر انتقال گرما و کاربردهای آن کمک کرده باشد.