قضیه تالس

قضیه تالس یکی از پایه‌ای‌ترین و مهم‌ترین قضایای هندسه است که نقش کلیدی در درک مفاهیم مربوط به خطوط موازی، نسبت‌ها و مثلث‌های متشابه ایفا می‌کند. این قضیه که به نام تالس میلتی، فیلسوف و ریاضیدان یونانی نام‌گذاری شده است، بیش از ۲۵۰۰ سال قدمت دارد و هنوز هم در دنیای امروز کاربردهای گسترده‌ای در رشته‌هایی مانند مهندسی، نجوم، معماری و حتی گرافیک کامپیوتری دارد.

در این مقاله، به بررسی جامع قضیه تالس می‌پردازیم. ابتدا تاریخچه و پیشینه این قضیه را مرور خواهیم کرد، سپس بیان دقیق و اثبات آن را ارائه می‌دهیم. اما بخش جذاب این مقاله، بررسی و حل قضیه تالس با استفاده از برنامه‌نویسی است. با استفاده از کدنویسی، می‌توانیم این قضیه را به صورت عملی پیاده‌سازی کرده و نتایج آن را تحلیل کنیم. این رویکرد نه تنها به درک بهتر قضیه کمک می‌کند، بلکه نشان می‌دهد که چگونه ریاضیات و برنامه‌نویسی می‌توانند دست به دست هم داده و مسائل پیچیده را به سادگی حل کنند.

این مقاله برای دانش‌آموزان، دانشجویان و علاقه‌مندان به ریاضیات و برنامه‌نویسی نوشته شده است. اگر شما هم می‌خواهید با قضیه تالس آشنا شوید و آن را به کمک کدنویسی بررسی کنید، تا پایان این مقاله با ما همراه باشید.

تاریخچه و پیشینه قضیه تالس

قضیه تالس به نام تالس میلتی، فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در قرن ششم قبل از میلاد می‌زیست، نام‌گذاری شده است. تالس به عنوان یکی از هفت حکیم یونان باستان شناخته می‌شود و به دلیل نقش مهمی که در پایه‌گذاری علوم ریاضی و فلسفه داشت، به عنوان پدر علم و فلسفه غرب نیز لقب گرفته است. او اولین کسی بود که تلاش کرد پدیده‌های طبیعی را بدون توسل به اسطوره‌ها و با استفاده از استدلال‌های منطقی و ریاضی توضیح دهد.

تالس در طول زندگی خود به مصر سفر کرد و با دانش ریاضی مصریان آشنا شد. او از این دانش برای توسعه نظریه‌های خود در زمینه هندسه استفاده کرد. یکی از مهم‌ترین دستاوردهای او، قضیه‌ای است که امروزه به نام او شناخته می‌شود. این قضیه ابتدا به صورت شهودی و تجربی مورد استفاده قرار می‌گرفت، اما تالس آن را به صورت دقیق و ریاضی فرموله کرد.

قضیه تالس نه تنها در زمان خودش، بلکه در طول تاریخ تأثیر عمیقی بر ریاضیات و علوم دیگر گذاشته است. این قضیه پایه‌ای برای توسعه نظریه‌های پیشرفته‌تر در هندسه، مانند نظریه تشابه مثلث‌ها و نسبت‌های هندسی شد. علاوه بر این، قضیه تالس در کاربردهای عملی مانند معماری، نجوم و مهندسی نیز مورد استفاده قرار گرفته است. برای مثال، در ساخت بناهای تاریخی مانند اهرام مصر، از اصول این قضیه برای ایجاد تناسب و تعادل در ساختارها استفاده شده است.

در ادامه این مقاله، به بیان دقیق قضیه تالس و اثبات آن خواهیم پرداخت. سپس با استفاده از برنامه‌نویسی، این قضیه را به صورت عملی بررسی کرده و کاربردهای آن را در دنیای واقعی تحلیل خواهیم کرد.

بیان قضیه تالس

قضیه تالس یکی از قضایای بنیادی در هندسه است که رابطه بین خطوط موازی و نسبت‌های ایجاد شده توسط آن‌ها را در مثلث‌ها توصیف می‌کند. این قضیه به طور کلی بیان می‌کند که اگر یک خط موازی با یکی از اضلاع یک مثلث، دو ضلع دیگر مثلث را قطع کند، نسبت‌های ایجاد شده بین پاره‌خط‌ها برابر خواهند بود. به عبارت ریاضی، قضیه تالس را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

فرمول قضیه تالس:

اگر خطی موازی با یکی از اضلاع مثلث (مثلاً ضلع $BC$)، دو ضلع دیگر مثلث ($AB$ و $AC$) را در نقاط $D$ و $E$ قطع کند، آنگاه نسبت‌های زیر برقرار خواهند بود:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

توضیح مفاهیم کلیدی:

• خطوط موازی: دو خط که در یک صفحه قرار دارند و هیچ‌گاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند.
• نسبت‌ها: رابطه بین طول‌های دو پاره‌خط که به صورت کسری بیان می‌شود.
• مثلث‌های متشابه: مثلث‌هایی که شکل یکسان دارند اما اندازه‌های آن‌ها ممکن است متفاوت باشد. در مثلث‌های متشابه، نسبت طول اضلاع متناظر برابر است.

مثال ساده:

فرض کنید مثلث $ABC$ داریم که خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است و اضلاع $AB$ و $AC$ را به ترتیب در نقاط $D$ و $E$ قطع می‌کند. اگر $AD=4$ واحد، $DB=2$ واحد، و $AE=6$ واحد باشد، آنگاه طول $EC$ چقدر خواهد بود؟

با استفاده از قضیه تالس:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}⟹\frac{4}{2}=\frac{6}{EC}⟹EC=3$$ بنابراین، طول $EC$ برابر با ۳ واحد خواهد بود.

این مثال ساده نشان می‌دهد که چگونه قضیه تالس می‌تواند برای محاسبه طول‌های مجهول در مثلث‌ها مورد استفاده قرار گیرد. در بخش بعدی، به اثبات این قضیه خواهیم پرداخت و سپس آن را با استفاده از برنامه‌نویسی بررسی خواهیم کرد.

اثبات قضیه تالس

برای درک کامل قضیه تالس، اثبات آن از اهمیت بالایی برخوردار است. در این بخش، دو روش برای اثبات این قضیه ارائه می‌شود: یک اثبات هندسی و یک اثبات جبری. هر دو روش به شما کمک می‌کنند تا درک عمیق‌تری از این قضیه پیدا کنید.

1. اثبات هندسی قضیه تالس

فرض کنید مثلث $ABC$ داریم و خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است که اضلاع $AB$ و $AC$ را به ترتیب در نقاط $D$ و $E$ قطع می‌کند. هدف ما این است که نشان دهیم:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

مراحل اثبات:

1. رسم شکل: مثلث $ABC$ را رسم کنید و خط $DE$ را به موازات $BC$ رسم کنید.
2. تشابه مثلث‌ها: از آنجا که $DE\parallel BC$، مثلث‌های $ADE$ و $ABC$ متشابه هستند. این تشابه به دلیل تساوی زوایای متناظر (زاویه‌های $A$ مشترک و زوایای $D$ و $B$، $E$ و $C$ برابر) ایجاد می‌شود.
3. نسبت اضلاع: در مثلث‌های متشابه، نسبت طول اضلاع متناظر برابر است. بنابراین:
   $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$
4. تبدیل نسبت‌ها: با توجه به اینکه $AB=AD+DB$ و $AC=AE+EC$، می‌توانیم نسبت‌ها را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
   $$\frac{AD}{AD+DB}=\frac{AE}{AE+EC}$$
5. ساده‌سازی: با حل این معادله، به رابطه زیر می‌رسیم:
   $$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$ این همان چیزی است که قضیه تالس بیان می‌کند.

2. اثبات جبری قضیه تالس

برای اثبات جبری، از مفاهیم تشابه مثلث‌ها و نسبت‌های تناسبی استفاده می‌کنیم.

مراحل اثبات:

1. فرضیات: مثلث $ABC$ و خط $DE\parallel BC$ را در نظر بگیرید.
2. تشابه مثلث‌ها: مثلث‌های $ADE$ و $ABC$ متشابه هستند، زیرا زوایای متناظر آن‌ها برابر است.
3. نسبت اضلاع: از تشابه مثلث‌ها داریم:
   $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$
4. تبدیل نسبت‌ها: با جایگزینی $AB=AD+DB$ و $AC=AE+EC$، معادله زیر به دست می‌آید:
   $$\frac{AD}{AD+DB}=\frac{AE}{AE+EC}$$
5. حل معادله: با ضرب طرفین در $(AD+DB)(AE+EC)$ و ساده‌سازی، به رابطه زیر می‌رسیم:
   $$AD\cdot EC=AE\cdot DB$$ با تقسیم هر دو طرف بر $DB\cdot EC$، نتیجه نهایی به دست می‌آید:
   $$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

نتیجه‌گیری اثبات

هر دو روش هندسی و جبری به یک نتیجه واحد می‌رسند: نسبت طول‌های پاره‌خط‌های ایجاد شده توسط خط موازی در مثلث، برابر است. این اثبات‌ها پایه‌ای برای درک عمیق‌تر قضیه تالس و کاربردهای آن فراهم می‌کنند.

در بخش بعدی، این قضیه را با استفاده از برنامه‌نویسی بررسی خواهیم کرد و نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان آن را به صورت عملی پیاده‌سازی و تحلیل کرد.

بررسی و حل قضیه تالس با استفاده از برنامه‌نویسی

در این بخش، قضیه تالس را با استفاده از برنامه‌نویسی بررسی می‌کنیم. هدف ما این است که با نوشتن یک برنامه ساده، نسبت‌های ایجاد شده توسط خط موازی در مثلث را محاسبه کرده و صحت قضیه تالس را تأیید کنیم. برای این کار، از زبان برنامه‌نویسی پایتون استفاده می‌کنیم، زیرا سینتکس ساده و کتابخانه‌های قدرتمندی برای محاسبات ریاضی دارد.

مراحل پیاده‌سازی

1. انتخاب زبان برنامه‌نویسی

پایتون به دلیل سادگی و قابلیت‌های گسترده‌اش، یکی از بهترین گزینه‌ها برای پیاده‌سازی مسائل ریاضی است. ما از کتابخانه‌هایی مانند NumPy برای محاسبات عددی و Matplotlib برای رسم شکل‌ها استفاده خواهیم کرد.

2. تعریف مسئله

فرض کنید مثلث $ABC$ داریم که خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است و اضلاع $AB$ و $AC$ را به ترتیب در نقاط $D$ و $E$ قطع می‌کند. هدف ما این است که نسبت‌های $\frac{AD}{DB}$ و $\frac{AE}{EC}$ را محاسبه کرده و برابر بودن آن‌ها را بررسی کنیم.

3. ورودی‌ها

برای شروع، نیاز به مختصات نقاط $A$, $B$, و $C$ داریم. همچنین، باید نقطه $D$ را روی ضلع $AB$ مشخص کنیم تا خط $DE$ موازی با $BC$ رسم شود.

4. الگوریتم

الگوریتم زیر را برای محاسبه نسبت‌ها دنبال می‌کنیم:

1. مختصات نقاط $A$, $B$, و $C$ را دریافت کنید.
2. نقطه $D$ را روی ضلع $AB$ مشخص کنید.
3. خط $DE$ را به موازات $BC$ رسم کنید و نقطه $E$ را روی ضلع $AC$ پیدا کنید.
4. طول‌های $AD$, $DB$, $AE$, و $EC$ را محاسبه کنید.
5. نسبت‌های $\frac{AD}{DB}$ و $\frac{AE}{EC}$ را محاسبه کرده و برابر بودن آن‌ها را بررسی کنید.

5. کدنویسی

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# مختصات نقاط A, B, و C
A = np.array([0, 0])
B = np.array([6, 0])
C = np.array([3, 4])

# نقطه D روی ضلع AB (مثلاً در 1/3 طول AB)
D = A + (1/3) * (B - A)

# جهت خط BC
BC_direction = C - B

# نقطه E روی ضلع AC که DE موازی با BC باشد
# از تشابه مثلث‌ها استفاده می‌کنیم
t = np.linalg.norm(D - A) / np.linalg.norm(B - A)
E = A + t * (C - A)

# محاسبه طول‌ها
AD = np.linalg.norm(D - A)
DB = np.linalg.norm(B - D)
AE = np.linalg.norm(E - A)
EC = np.linalg.norm(C - E)

# محاسبه نسبت‌ها
ratio_AD_DB = AD / DB
ratio_AE_EC = AE / EC

# نمایش نتایج
print(f"نسبت AD/DB: {ratio_AD_DB}")
print(f"نسبت AE/EC: {ratio_AE_EC}")

# رسم شکل
plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b-', label='AB')
plt.plot([B[0], C[0]], [B[1], C[1]], 'g-', label='BC')
plt.plot([A[0], C[0]], [A[1], C[1]], 'r-', label='AC')
plt.plot([D[0], E[0]], [D[1], E[1]], 'm--', label='DE (موازی با BC)')
plt.scatter([A[0], B[0], C[0], D[0], E[0]], [A[1], B[1], C[1], D[1], E[1]], color='black')
plt.text(A[0], A[1], 'A', fontsize=12, ha='right')
plt.text(B[0], B[1], 'B', fontsize=12, ha='left')
plt.text(C[0], C[1], 'C', fontsize=12, ha='left')
plt.text(D[0], D[1], 'D', fontsize=12, ha='right')
plt.text(E[0], E[1], 'E', fontsize=12, ha='left')
plt.legend()
plt.grid()
plt.axis('equal')
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# مختصات نقاط A, B, و C
A = np.array([0, 0])
B = np.array([6, 0])
C = np.array([3, 4])

# نقطه D روی ضلع AB (مثلاً در 1/3 طول AB)
D = A + (1/3) * (B - A)

# جهت خط BC
BC_direction = C - B

# نقطه E روی ضلع AC که DE موازی با BC باشد
# از تشابه مثلث‌ها استفاده می‌کنیم
t = np.linalg.norm(D - A) / np.linalg.norm(B - A)
E = A + t * (C - A)

# محاسبه طول‌ها
AD = np.linalg.norm(D - A)
DB = np.linalg.norm(B - D)
AE = np.linalg.norm(E - A)
EC = np.linalg.norm(C - E)

# محاسبه نسبت‌ها
ratio_AD_DB = AD / DB
ratio_AE_EC = AE / EC

# نمایش نتایج
print(f"نسبت AD/DB: {ratio_AD_DB}")
print(f"نسبت AE/EC: {ratio_AE_EC}")

# رسم شکل
plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b-', label='AB')
plt.plot([B[0], C[0]], [B[1], C[1]], 'g-', label='BC')
plt.plot([A[0], C[0]], [A[1], C[1]], 'r-', label='AC')
plt.plot([D[0], E[0]], [D[1], E[1]], 'm--', label='DE (موازی با BC)')
plt.scatter([A[0], B[0], C[0], D[0], E[0]], [A[1], B[1], C[1], D[1], E[1]], color='black')
plt.text(A[0], A[1], 'A', fontsize=12, ha='right')
plt.text(B[0], B[1], 'B', fontsize=12, ha='left')
plt.text(C[0], C[1], 'C', fontsize=12, ha='left')
plt.text(D[0], D[1], 'D', fontsize=12, ha='right')
plt.text(E[0], E[1], 'E', fontsize=12, ha='left')
plt.legend()
plt.grid()
plt.axis('equal')
plt.show()اجرای کد

توضیح کد

1. مختصات نقاط: نقاط $A$, $B$, و $C$ را به صورت آرایه‌های NumPy تعریف می‌کنیم.
2. نقطه $D$: نقطه $D$ را روی ضلع $AB$ مشخص می‌کنیم. در این مثال، $D$ در یک‌سوم طول $AB$ قرار دارد.
3. جهت خط $BC$: جهت خط $BC$ را محاسبه کرده و از آن برای یافتن نقطه $E$ استفاده می‌کنیم.
4. نقطه $E$: با استفاده از تشابه مثلث‌ها، نقطه $E$ را روی ضلع $AC$ پیدا می‌کنیم.
5. محاسبه طول‌ها: طول‌های $AD$, $DB$, $AE$, و $EC$ را محاسبه می‌کنیم.
6. نسبت‌ها: نسبت‌های $\frac{AD}{DB}$ و $\frac{AE}{EC}$ را محاسبه کرده و نمایش می‌دهیم.
7. رسم شکل: با استفاده از کتابخانه Matplotlib، شکل مثلث و خطوط موازی را رسم می‌کنیم.

نتیجه اجرای کد

پس از اجرای کد، خروجی زیر نمایش داده می‌شود:

نسبت AD/DB: 0.5
نسبت AE/EC: 0.5

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، نسبت‌ها برابر هستند و این نتیجه، صحت قضیه تالس را تأیید می‌کند.

در بخش بعدی، به کاربردهای عملی قضیه تالس در دنیای واقعی خواهیم پرداخت.

کاربردهای عملی قضیه تالس

قضیه تالس نه تنها یک مفهوم نظری در هندسه است، بلکه کاربردهای عملی گسترده‌ای در دنیای واقعی دارد. این قضیه در رشته‌های مختلفی مانند مهندسی، نجوم، معماری و حتی گرافیک کامپیوتری مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این بخش، به برخی از مهم‌ترین کاربردهای قضیه تالس اشاره می‌کنیم.

1. کاربرد در مهندسی و معماری

قضیه تالس در طراحی سازه‌های مهندسی و معماری نقش مهمی ایفا می‌کند. برای مثال:

• طراحی پل‌ها: در طراحی پل‌های معلق یا قوسی، از نسبت‌های هندسی برای ایجاد تعادل و پایداری استفاده می‌شود. قضیه تالس به مهندسان کمک می‌کند تا نسبت‌های دقیق بین اجزای مختلف پل را محاسبه کنند.
• ساختمان‌ها: در معماری، برای ایجاد تناسب و زیبایی در نمای ساختمان‌ها، از اصول هندسی مانند قضیه تالس استفاده می‌شود. این قضیه به معماران کمک می‌کند تا نسبت‌های بین پنجره‌ها، درها و سایر عناصر ساختمان را به درستی تنظیم کنند.

2. کاربرد در نجوم

قضیه تالس در نجوم نیز کاربردهای جالبی دارد. برای مثال:

• محاسبه فاصله‌های نجومی: ستاره‌شناسان از قضیه تالس برای محاسبه فاصله‌های بین اجرام آسمانی استفاده می‌کنند. با استفاده از نسبت‌های هندسی، می‌توان فاصله‌های دور را بدون نیاز به اندازه‌گیری مستقیم تخمین زد.
• تعیین موقعیت ستاره‌ها: در نجوم باستانی، از قضیه تالس برای تعیین موقعیت ستاره‌ها و سیارات در آسمان استفاده می‌شد. این روش به ستاره‌شناسان کمک می‌کرد تا نقشه‌های دقیقی از آسمان تهیه کنند.

3. کاربرد در گرافیک کامپیوتری

در گرافیک کامپیوتری، قضیه تالس برای ایجاد تصاویر سه‌بعدی و انیمیشن‌ها استفاده می‌شود. برای مثال:

• پرسپکتیو: در ایجاد تصاویر سه‌بعدی، از قضیه تالس برای محاسبه پرسپکتیو و ایجاد عمق در تصاویر استفاده می‌شود. این کار به کمک نسبت‌های هندسی بین اجزای تصویر انجام می‌شود.
• ترسیم اشکال هندسی: در نرم‌افزارهای طراحی، از قضیه تالس برای ترسیم اشکال هندسی دقیق و متناسب استفاده می‌شود. این قضیه به برنامه‌نویسان کمک می‌کند تا الگوریتم‌های ترسیم را بهینه‌سازی کنند.

4. کاربرد در نقشه‌برداری و جغرافیا

قضیه تالس در نقشه‌برداری و جغرافیا نیز کاربرد دارد. برای مثال:

• تعیین فواصل: در نقشه‌برداری، از قضیه تالس برای تعیین فواصل بین نقاط مختلف روی زمین استفاده می‌شود. این کار به کمک نسبت‌های هندسی و مثلث‌های متشابه انجام می‌شود.
• تهیه نقشه‌های دقیق: در تهیه نقشه‌های جغرافیایی، از قضیه تالس برای ایجاد تناسب و دقت در اندازه‌گیری‌ها استفاده می‌شود.

5. کاربرد در آموزش و یادگیری

قضیه تالس به عنوان یک مفهوم پایه‌ای در هندسه، در آموزش ریاضیات و علوم مرتبط نقش مهمی دارد. برای مثال:

• آموزش هندسه: قضیه تالس به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا مفاهیم مربوط به خطوط موازی، نسبت‌ها و مثلث‌های متشابه را به درستی درک کنند.
• حل مسائل پیچیده: با استفاده از قضیه تالس، دانش‌آموزان می‌توانند مسائل هندسی پیچیده را به سادگی حل کنند.

نتیجه‌گیری کاربردها

قضیه تالس نه تنها یک مفهوم نظری جذاب است، بلکه کاربردهای عملی فراوانی در دنیای واقعی دارد. از طراحی سازه‌های مهندسی تا محاسبه فاصله‌های نجومی، این قضیه به عنوان یک ابزار قدرتمند در دسترس متخصصان قرار دارد. درک این قضیه و کاربردهای آن، به ما کمک می‌کند تا دنیای اطراف خود را بهتر درک کرده و مسائل پیچیده را به سادگی حل کنیم.

در بخش بعدی، تمرینات و مسائل مرتبط با قضیه تالس را بررسی خواهیم کرد تا بتوانید دانش خود را در این زمینه تقویت کنید.

تمرینات و مسائل مرتبط با قضیه تالس

برای تسلط بیشتر بر قضیه تالس و درک عمیق‌تر آن، حل تمرینات و مسائل مرتبط بسیار مفید است. در این بخش، چند تمرین مفهومی و برنامه‌نویسی ارائه می‌شود که به شما کمک می‌کند تا دانش خود را در این زمینه تقویت کنید.

تمرینات مفهومی

تمرین ۱: محاسبه طول مجهول

مثلث $ABC$ داریم که خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است. اگر $AD=5$ واحد، $DB=3$ واحد، و $AE=7.5$ واحد باشد، طول $EC$ را محاسبه کنید.

راه‌حل:
با استفاده از قضیه تالس:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}⟹\frac{5}{3}=\frac{7.5}{EC}$$ با حل معادله:
$$EC=\frac{7.5\times 3}{5}=4.5$$ بنابراین، طول $EC$ برابر با ۴.۵ واحد است.

تمرین ۲: بررسی موازی بودن خطوط

در مثلث $ABC$، خط $DE$ اضلاع $AB$ و $AC$ را به ترتیب در نقاط $D$ و $E$ قطع می‌کند. اگر $AD=4$ واحد، $DB=2$ واحد، $AE=6$ واحد، و $EC=3$ واحد باشد، آیا خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است؟

راه‌حل:
با استفاده از قضیه تالس، نسبت‌ها را بررسی می‌کنیم:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{4}{2}=2$$ $$\frac{AE}{EC}=\frac{6}{3}=2$$ از آنجا که نسبت‌ها برابر هستند، خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است.

تمرین ۳: محاسبه طول اضلاع

در مثلث $ABC$، خط $DE$ موازی با ضلع $BC$ است. اگر $AD=6$ واحد، $DB=4$ واحد، و $BC=10$ واحد باشد، طول $DE$ را محاسبه کنید.

راه‌حل:
با استفاده از تشابه مثلث‌ها و قضیه تالس:
$$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}⟹\frac{6}{10}=\frac{DE}{10}$$ با حل معادله:
$$DE=6$$ بنابراین، طول $DE$ برابر با ۶ واحد است.

مسائل برنامه‌نویسی

مسئله ۱: پیاده‌سازی قضیه تالس در پایتون

برنامه‌ای بنویسید که مختصات نقاط $A$, $B$, و $C$ را دریافت کرده و طول‌های $AD$, $DB$, $AE$, و $EC$ را محاسبه کند. سپس، نسبت‌های $\frac{AD}{DB}$ و $\frac{AE}{EC}$ را بررسی کرده و برابر بودن آن‌ها را تأیید کند.

راه‌حل:

import numpy as np

# مختصات نقاط A, B, و C
A = np.array([0, 0])
B = np.array([8, 0])
C = np.array([4, 6])

# نقطه D روی ضلع AB (مثلاً در 1/2 طول AB)
D = A + (1/2) * (B - A)

# جهت خط BC
BC_direction = C - B

# نقطه E روی ضلع AC که DE موازی با BC باشد
t = np.linalg.norm(D - A) / np.linalg.norm(B - A)
E = A + t * (C - A)

# محاسبه طول‌ها
AD = np.linalg.norm(D - A)
DB = np.linalg.norm(B - D)
AE = np.linalg.norm(E - A)
EC = np.linalg.norm(C - E)

# محاسبه نسبت‌ها
ratio_AD_DB = AD / DB
ratio_AE_EC = AE / EC

# نمایش نتایج
print(f"نسبت AD/DB: {ratio_AD_DB}")
print(f"نسبت AE/EC: {ratio_AE_EC}")
import numpy as np

# مختصات نقاط A, B, و C
A = np.array([0, 0])
B = np.array([8, 0])
C = np.array([4, 6])

# نقطه D روی ضلع AB (مثلاً در 1/2 طول AB)
D = A + (1/2) * (B - A)

# جهت خط BC
BC_direction = C - B

# نقطه E روی ضلع AC که DE موازی با BC باشد
t = np.linalg.norm(D - A) / np.linalg.norm(B - A)
E = A + t * (C - A)

# محاسبه طول‌ها
AD = np.linalg.norm(D - A)
DB = np.linalg.norm(B - D)
AE = np.linalg.norm(E - A)
EC = np.linalg.norm(C - E)

# محاسبه نسبت‌ها
ratio_AD_DB = AD / DB
ratio_AE_EC = AE / EC

# نمایش نتایج
print(f"نسبت AD/DB: {ratio_AD_DB}")
print(f"نسبت AE/EC: {ratio_AE_EC}")اجرای کد

مسئله ۲: رسم شکل مثلث و خط موازی

برنامه‌ای بنویسید که مثلث $ABC$ و خط $DE$ موازی با $BC$ را رسم کند. سپس، نسبت‌های $\frac{AD}{DB}$ و $\frac{AE}{EC}$ را محاسبه کرده و روی شکل نمایش دهد.

راه‌حل:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# مختصات نقاط A, B, و C
A = np.array([0, 0])
B = np.array([10, 0])
C = np.array([5, 8])

# نقطه D روی ضلع AB (مثلاً در 1/3 طول AB)
D = A + (1/3) * (B - A)

# نقطه E روی ضلع AC که DE موازی با BC باشد
t = np.linalg.norm(D - A) / np.linalg.norm(B - A)
E = A + t * (C - A)

# رسم شکل
plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b-', label='AB')
plt.plot([B[0], C[0]], [B[1], C[1]], 'g-', label='BC')
plt.plot([A[0], C[0]], [A[1], C[1]], 'r-', label='AC')
plt.plot([D[0], E[0]], [D[1], E[1]], 'm--', label='DE (موازی با BC)')
plt.scatter([A[0], B[0], C[0], D[0], E[0]], [A[1], B[1], C[1], D[1], E[1]], color='black')
plt.text(A[0], A[1], 'A', fontsize=12, ha='right')
plt.text(B[0], B[1], 'B', fontsize=12, ha='left')
plt.text(C[0], C[1], 'C', fontsize=12, ha='left')
plt.text(D[0], D[1], 'D', fontsize=12, ha='right')
plt.text(E[0], E[1], 'E', fontsize=12, ha='left')
plt.legend()
plt.grid()
plt.axis('equal')
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# مختصات نقاط A, B, و C
A = np.array([0, 0])
B = np.array([10, 0])
C = np.array([5, 8])

# نقطه D روی ضلع AB (مثلاً در 1/3 طول AB)
D = A + (1/3) * (B - A)

# نقطه E روی ضلع AC که DE موازی با BC باشد
t = np.linalg.norm(D - A) / np.linalg.norm(B - A)
E = A + t * (C - A)

# رسم شکل
plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b-', label='AB')
plt.plot([B[0], C[0]], [B[1], C[1]], 'g-', label='BC')
plt.plot([A[0], C[0]], [A[1], C[1]], 'r-', label='AC')
plt.plot([D[0], E[0]], [D[1], E[1]], 'm--', label='DE (موازی با BC)')
plt.scatter([A[0], B[0], C[0], D[0], E[0]], [A[1], B[1], C[1], D[1], E[1]], color='black')
plt.text(A[0], A[1], 'A', fontsize=12, ha='right')
plt.text(B[0], B[1], 'B', fontsize=12, ha='left')
plt.text(C[0], C[1], 'C', fontsize=12, ha='left')
plt.text(D[0], D[1], 'D', fontsize=12, ha='right')
plt.text(E[0], E[1], 'E', fontsize=12, ha='left')
plt.legend()
plt.grid()
plt.axis('equal')
plt.show()اجرای کد